Question

【題目】設函數f（x）=2cos2x+sin2x+a（a∈R）．
（1）求函數f（x）的最小正周期和單調遞增區間；
（2）當 時，f（x）的最大值為2，求a的值，并求出y=f（x）（x∈R）的對稱軸方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=1+cos2x+sin2x+a= sin（2x+ ）+1+a，

∵ω=2，∴T=π，

∴f（x）的最小正周期π；

當2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ （k∈Z）時f（x）單調遞增，

解得：kπ﹣ ≤x≤kπ+ （k∈Z），

則x∈[kπ﹣ ，kπ+ ]（k∈Z）為f（x）的單調遞增區間；

（2）解：當x∈[0， ]時， ≤2x+ ≤ ，

當2x+ = ，即x= 時，sin（2x+ ）=1，

則f（x）max= +1+a=2，

解得：a=1﹣ ，

令2x+ =kπ+ （k∈Z），得到x= + （k∈Z）為f（x）的對稱軸．

【解析】（1）函數f（x）解析式第一項利用二倍角的余弦函數公式化簡，再利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，找出ω的值代入周期公式即可求出函數的最小正周期；由正弦函數的單調遞增區間為[2kπ﹣ ，2kπ+ ]（k∈Z）求出x的范圍即為函數的遞增區間；（2）由x的范圍求出這個角的范圍，利用正弦函數的單調性求出正弦函數的最大值，表示出函數的最大值，由已知最大值求出a的值即可，令這個角等于kπ+ （k∈Z），求出x的值，即可確定出對稱軸方程．
【考點精析】掌握兩角和與差的正弦公式和二倍角的余弦公式是解答本題的根本，需要知道兩角和與差的正弦公式：；二倍角的余弦公式：．