Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x（a+lnx）有極小值﹣e﹣2 ． （Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）若k∈Z，且 對(duì)任意x＞1恒成立，求k的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）， 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=1+a+lnx，由f′（x）=1+a+lnx=0，
解得x=e﹣1﹣a ， 即當(dāng)x=e﹣1﹣a ， 時(shí)，函數(shù)取得極小值﹣e﹣2 ．
即f（e﹣1﹣a）=e﹣1﹣a（a﹣1﹣a）=﹣e﹣1﹣a=﹣e﹣2 ，
所以解的a=1，即實(shí)數(shù)a的值為1．
（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x（1+lnx），所以設(shè) ，
則 ．
令h（x）=x﹣2﹣lnx，x＞1．
因?yàn)? ，所以函數(shù)h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
又h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣ln4=2﹣2ln2＞0，
所以h（x）在（1，+∞）上存在唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)根x0 ， 滿(mǎn)足x0∈（3，4），且h（x0）=0．
， 即x0﹣2﹣lnx0=0，所以lnx0=x0﹣2．
當(dāng)x∈（1，x0）時(shí)，h（x）＜0，此時(shí)g′（x）＜0，
當(dāng)x∈（x0 ， +∞）時(shí)，h（x）＞0，此時(shí)g′（x）＞0．
所以 在x∈（1，x0）時(shí)，單調(diào)遞減，在x∈（x0 ， +∞）上單調(diào)遞增，
所以. = ∈（3，4）．
所以要使 對(duì)任意x＞1恒成立，則k＜g（x）min=x0∈（3，4），
因?yàn)閗∈Z，所以要k≤3，即k的最大值為3．
【解析】（Ⅰ）求函數(shù)的定義域，利用極小值﹣e﹣2 ， 求實(shí)數(shù)a的值；（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值即可．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解函數(shù)的極值(極值反映的是函數(shù)在某一點(diǎn)附近的大小情況)．