Question

已知圓C：（x-1）²+（y-2）²=25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，有結(jié)論：
①直線l過定點(diǎn)（3，1）；
②不論m取什么實(shí)數(shù)，直線l與圓C恒交于兩不同點(diǎn)；
③直線被圓C截得的弦長(zhǎng)最小值時(shí)l的方程為y=2x-5．
以上結(jié)論正確的有

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：①（3，1）代入直線l的方程成立，由此得①正確；②直線l過定點(diǎn)（3，1），且點(diǎn)（3，1）在圓C內(nèi)部，由此判斷②正確；③圓心C（1，2），定點(diǎn)M（3，1），直線被圓C截得的弦長(zhǎng)最小值時(shí)l過M（3，1）且垂直于直線垂直于直線MC，由此判斷③正確．

解答： 解：①（3，1）代入直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，
得（2m+1）×3+（m+1）×1-7m-4=（7m+4）-7m-4=0，成立，
∴直線l過定點(diǎn)（3，1），故①正確；
②∵直線l過定點(diǎn)（3，1），且點(diǎn)（3，1）在圓C內(nèi)部，
∴不論m取什么實(shí)數(shù)，直線l與圓C恒交于兩不同點(diǎn)，故②正確；
③圓心C（1，2），定點(diǎn)M（3，1），
直線被圓C截得的弦長(zhǎng)最小值時(shí)l過M（3，1）且垂直于直線垂直于直線MC，
∵k_MC=

2-1

1-3

=-

1

2

，∴k_l=2，
∴l(xiāng)的方程為：y-1=2（x-3），整理，得：y=2x-5，故③正確．
故答案為：①②③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意待定系數(shù)法的合理運(yùn)用．