Question

如圖所示，在平面直角坐標系中，給定y軸正半軸上兩點A（0，a），B（0，b）（a＞b＞0）．試在x軸正半軸上求一點C，試在x軸正半軸上求一點C，使∠ACB取得最大值，則C的坐標為

 

．

Answer 1

考點：余弦定理

專題：解三角形

分析：設C（x，0），進而根據A，B坐標表示出直線AC和BC的斜率，進而根據正切的兩角和公式求得tan∠ACB的表達式，根據均值不等式求得最大值時x的值．

解答： 解：設C（x，0），其中x＞0，
∵A（0，a），B（0，b）（a＞b＞0），
∴k_AC=

a-0

0-x

=-

a

x

，k_BC=

b-0

0-x

=-

b

x

，
∴tan∠ACB=

kBC-kAC

1+kBCkAC

=

- b x + a x

1+ b x • a x

=

a-b

ab ( x ab + ab x )

≤

a-b

2 ab

，此時x=

ab

時取等號．
則點C坐標為（

ab

，0），
故答案為：（

ab

，0）

點評：此題考查了直線的斜率，傾斜角與斜率的關系，以及基本不等式的運用，靈活運用基本不等式是解本題的關鍵．