Question

已知函數f（x）（x∈R）滿足f（2）=1，且f（x）的導函數f′（x）＞

2

3

，則關于x的不等式f（x）＞

2x

3

-

1

3

的解集為

 

．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：構造函數（x）=f（x）-（

2x

3

-

1

3

），求函數的導數，利用函數單調性和導數之間的關系即可得到結論．

解答： 解：構造函數g（x）=f（x）-（

2x

3

-

1

3

），
則函數的導數為g′（x）=f′（x）-

2

3

，
∵f′（x）＞

2

3

，∴g′（x）＞0，
即函數g（x）是增函數，
∵f（2）=1，
∴g（2）=f（2）-（

4

3

-

1

3

）=1-1=0，
即當x＞2時，g（x）＞g（0）=0，
即不等式f（x）＞

2x

3

-

1

3

的解集為（2，+∞），
故答案為：（2，+∞）

點評：本題主要考查不等式的求解，構造函數，利用函數的單調性和導數之間的關系是解決本題的關鍵．