Question

在直三棱柱中，ABC-A′B′C′，AB=AC=AA′=2，BC=

3

AB且此三棱柱的各個頂點都在一個球面上，則此球的體積為

 

．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：計算題,空間位置關系與距離

分析：在△ABC中結合正余弦定理，算出它的外接圓半徑R=2，設三棱柱外接球的球心為O，△ABC的外接圓心為O₁，在Rt△AOO₁中利用勾股定理算出OA的長，即為外接球的半徑，最后根據球的體積公式，可得三棱柱外接球的體積．

解答： 解：∵△ABC中，AB=AC=2，BC=

3

AB=2

3

∴cos∠BAC=-

1

2

，結合∠BAC∈（0，π）得∠BAC=120°
再根據正弦定理，得△ABC的外接圓直徑2R=

BC

sinA

=4，即R=2
設三棱柱外接球的球心為O，△ABC的外接圓心為O₁，則OO₁=

1

2

AA'=1
可得OA=

5

∴外接球的體積為S=

4

3

π•OA³=

20 5

3

π．
故答案為：

20 5

3

π．

點評：本題給出特殊三棱柱，求它的外接球體積，著重考查了直三棱柱的性質、球的體積公式和多面體的外接球等知識，屬于基礎題．