Question

【題目】如圖，在幾何體中，四邊形為直角梯形， ，四邊形為矩形，且， ， 為的中點.

（1）求證： 平面；

（2）若，求平面與平面所成的銳二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）取的中點，連接， ，易證得四邊形為平行四邊形，所以，進而得證；

（2）先證得, , 兩兩垂直，以點為原點，以為軸， 為軸， 為軸，建立空間直角坐標系，利用平面與平面的法向量求解即可.

試題解析：

（1）取的中點，連接， ，

∵為中點，∴，且.

∵四邊形為直角梯形， ，且，

∴，且，

∴四邊形為平行四邊形，∴.

∵平面， 平面，

∴平面.

（2）因為四邊形為直角梯形， ， ，

所以，∴.

又，因為，所以，

因為， ， ，所以平面，

因為，∴平面，∴，

所以，因此.

以點為原點，以為軸， 為軸， 為軸，建立空間直角坐標系，

則， ， ， ， ，

所以， ，設平面的一個法向量為，

則有令，則，

設平面的一個法向量為， ， ，

則有令，則，

所以，

所以平面與平面所成的銳二面角為.