【題目】如圖，四棱錐
中， 
底面
， 
， 
， 
， 
為線段
上一點， 
， 
為
的中點.
（1）證明： 
平面
；
（2）求二面角
的正弦值.
【答案】（1）見解析；（2）
.
【解析】試題分析：（1）由已知，取
的中點
，連接
， 
，得到
，利用線面平行的判定定理，即可得到
平面
.
（2）建立空間直角坐標系，求解平面平面
和平面
的法向量，利用向量夾角公式，即可求解二面角的大小．
試題解析：
（1）由已知得
，
取
的中點
，連接
， 
，
由
為
的中點知
， 
，
又
，故
，
所以四邊形
為平行四邊形，于是
，
平面
， 
平面
，
所以
平面
.
（2）取
的中點
，連接
.
由
得
，從而
，
且
.
以
為坐標原點， 
的方向為
軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系
.
由題意知， 
， 
， 
， 
，
， 
， 
.
設
為平面
的法向量，則
，
即
，可取
.
設
為平面
的法向量，
則
，即
，可取
.
于是
，
.
所以二面角
的正弦值為
.
閱讀快車系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
（
且
）．
（1）函數
是否過定點？若是求出該定點，若不是，說明理由．
（2）將函數的圖象向下平移
個單位，再向左平移
個單位后得到函數
，設函數的反函數為
，求的解析式；
（3）在（2）的基礎上，若函數
過點
，且設函數的定義域為
，若在其定義域內，不等式
恒成立，求
的取值范圍．
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