Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）求函數的單調區間；

（Ⅱ）若，求證：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見證明

【解析】

（Ⅰ）利用導數與函數單調性的關系求解；

（Ⅱ）af（x）＞lnx．令F（x），F′（x）（x＞0）．

①當∈（0，1]時，F′（x）＜0，F（x）單調遞減，F（x）≥F（1）＝ae＞0；

②當＞1時，令G（x），利用導數求得最小值大于0即可．

解．（1）f（x）的定義域為（﹣∞，0）∪（0，+∞），

∵，

∴x∈（﹣∞，0），（0，1）時，f′（x）＜0，x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0

∴函數f（x）的單調增區間為：（1，+∞），減區間為（﹣∞，0），（0，1）．

（2）af（x）＞lnx．

令F（x），

F′（x）．（x＞0）．

①當x∈（0，1]時，F′（x）＜0，F（x）單調遞減，F（x）≥F（1）＝ae＞0；

②當x＞1時，令G（x），G．

∴G（x）在（1，+∞）單調遞增，

∵x→1時，G（x）→﹣∞，G（2）＝e20，

∴G（x）存在唯一零點0∈（1，2），

F（x）min＝F（x0）

∵G（x0）＝0，．

綜上所述，當時，af（x）＞lnx成立．