Question

已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥CD，∠DAB=

π

2

，PA⊥底面ABCD，且AD=CD=

1

2

AB=1，M是PB的中點．
（1）求證：直線CM∥平面PAD；
（2）若直線CM與平面ABCD所成的角為

π

4

，求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）取AB的中點N，由已知條件得MN∥平面PAD，CM

∥

.

AD，由此能證明平面CMN∥平面PAD，從而得到CM∥平面PAD．
（2）由PA⊥底面ABCD，得MN⊥底面ABCD，由已知條件推導出PA=2MN=2CN=2CA=2，由此能求出四棱錐P-ABCD的體積．

解答： （1）證明：取AB的中點N，則MN

∥

.

1

2

PA，
故MN∥平面PAD，
又四邊形ADCM正方形，∴CM

∥

.

AD，
故CM∥平面PAD，∴平面CMN∥平面PAD，
∴CM∥平面PAD．
（2）解：由PA⊥底面ABCD，得MN⊥底面ABCD，
則CM與平面ABCD所成的角為∠MCN=45°，
∴PA=2MN=2CN=2CA=2，∵AD=CD=

1

2

AB=1，
∴ABCD的面積S=

1

2

(1+2)×1=

3

2

，四棱錐P-ABCD的h=PA=2，
故四棱錐P-ABCD的體積V=

1

3

Sh=

1

3

×2×

1

2

(1+2)×1=1．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查四棱錐的體積的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．