Question

若函數f（x）在給定區間M上存在正數t，使得對于任意x∈M，有x+t∈M，且f（x+t）≥f（x），則稱f（x）為M上的t級類增函數．給出4個命題
①函數f（x）=

4

x

+x是（1，+∞）上的3級類增函數；
②函數f（x）=|log₂（x-1）|是（1，+∞）上的1級類增函數；
③若函數f（x）=sinx+ax是[

π

2

，+∞）上的

π

3

級類增函數，則實數a的最小值為2；
④設f（x）是定義R在上的函數，且滿足：1．對任意x∈R，恒有f（x）＞0；2．對任意x₁，x₂∈[0，1]，恒有

f(x1)

f(x2)

+

f(1-x1)

f(1-x2)

≤2；3．對任意x∈R，f（x）=

1

f(x+ 1 2 )

，若函數f（x）是[1，+∞）上的t級類增函數，則實數t的取值范圍為（0，+∞）．
以上命題中為真命題的是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用,抽象函數及其應用,函數的值

專題：新定義,函數的性質及應用,簡易邏輯

分析：對于所給的四個命題，按t級類增函數定義對它們逐一驗證，即可找出正確命題

解答： 解：若函數f(x)=

4

x

+x是(1，+∞)上的3級類增函數，則f（x+3）≥f（x），即

4

x+3

+x+3≥

4

x

+x，∴x≥1或x≤-4，滿足題意，故①對；
若函數f（x）=|log₂（x-1）|是（1，+∞）上的1級類增函數，則|log₂x|≥|log₂（x-1）|在（1，+∞）上恒成立，當x=

5

4

，|log2

5

4

|≥|log2(

5

4

-1)|不成立，故②不對；
對于③，當a=1，f(x+

π

3

)≥f(x)，即sin(x+

π

3

)+x+

π

3

≥sinx+x，整理得

π

3

≥sin(x-

π

3

)，顯然成立．故③不對．④正確．
故答案為：①④

點評：本題考查命題真假判斷及新定義的理解，屬于難度較大的綜合題，解答時認真理解好所給的定義是解答的關鍵．