Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和為4，設(shè)點(diǎn)的軌跡為,直線與交于兩點(diǎn)。

（Ⅰ）寫(xiě)出的方程;

（Ⅱ）若，求的值。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）設(shè)P（x，y），由橢圓定義可知，點(diǎn)P的軌跡C是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸為2的橢圓．它的短半軸，故曲線C的方程為．

（Ⅱ）設(shè)，其坐標(biāo)滿足

消去y并整理得，故．

若，即．而，

于是，化簡(jiǎn)得，所以．

【解析】

試題（1）根據(jù)橢圓的定義，可判斷點(diǎn)的軌跡為橢圓，再根據(jù)橢圓的基本量，容易寫(xiě)出橢圓的方程，求曲線的方程一般可設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為，然后去探求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)滿足的方程，但如果根據(jù)特殊曲線的定義，先行判斷出曲線的形狀(如橢圓，圓，拋物線等)，則可直接寫(xiě)出其方程；（2）一般地，涉及直線與二次曲線相交的問(wèn)題，則可聯(lián)立方程組，或解出交點(diǎn)坐標(biāo)，或設(shè)而不求，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系建立關(guān)系求出參數(shù)的值(取值范圍)，本題可設(shè)，根據(jù)，及滿足橢圓的方程，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系消去坐標(biāo)即得.

試題解析：(1)設(shè),由橢圓定義可知,點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn),

長(zhǎng)半軸為2的橢圓, 2分

它的短半軸, 4分

故曲線的方程為. 6分

(2)證明:設(shè),其坐標(biāo)滿足消去并整理,得

8分

故. 10分

即，而，

于是，

解得13分