Question

【題目】（本小題共13分）

已知， 或1， ，對于， 表示U和V中相對應的元素不同的個數．

（Ⅰ）令，存在m個，使得，寫出m的值；

（Ⅱ）令，若，求證： ；

（Ⅲ）令，若，求所有之和．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） ； ………3分

（Ⅱ）證明：令，

∵或1， 或1；

當， 時，

當， 時，

當， 時，

當， 時，

故

∴

………8分

（Ⅲ）解：易知中共有個元素，分別記為

∵的共有個， 的共有個．

∴

=

= ……13分

∴= ．

法二：根據（Ⅰ）知使的共有個

∴=

=

兩式相加得=

（若用其他方法解題，請酌情給分）

【解析】試題分析：本題是綜合考查集合推理綜合的應用，這道題目的難點主要出現在讀題上，需要仔細分析，以找出解題的突破點，題目所給的條件其實包含兩個定義，第一個是關于的，其實中的元素就是一個n維的坐標，其中每個坐標都是0或者1，也可以這樣理解，就是一個n位數字的數組，每個數字都只能是0或1，第二個定義．第一問，根據，且及的意義：表示U和V中相應的元素不同的個數，可知；第二問，根據或1， ，分類討論， 時， ；當， 時， ；當， 時， ；當， 時， ；可證， ，再相加即可證明結論；第三問，結合第一問，得出使的共有個，分別計算出和，再相加即可．

試題解析：（Ⅰ） ；

（Ⅱ）證明：令，

∵或1， 或1；

當， 時，

當， 時，

當， 時，

當， 時，

故

∴

（Ⅲ）解：易知中共有個元素，分別記為

∵的共有個， 的共有個．

∴

=

=

∴= ．

法二：根據（Ⅰ）知使的共有個，

∴=

=

兩式相加得=