Question

【題目】如圖，已知多面體ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．

（Ⅰ）證明：AB1⊥平面A1B1C1；

（Ⅱ）求直線AC1與平面ABB1所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析

（Ⅱ）

【解析】分析:方法一：（Ⅰ）通過計算，根據勾股定理得,再根據線面垂直的判定定理得結論，（Ⅱ）找出直線AC1與平面ABB1所成的角，再在直角三角形中求解.

方法二：（Ⅰ）根據條件建立空間直角坐標系，寫出各點的坐標，根據向量之積為0得出,再根據線面垂直的判定定理得結論，（Ⅱ）根據方程組解出平面的一個法向量，然后利用與平面法向量的夾角的余弦公式及線面角與向量夾角的互余關系求解.

詳解：方法一：

（Ⅰ）由得，

所以.

故.

由， 得，

由得，

由，得，所以，故.

因此平面.

（Ⅱ）如圖，過點作，交直線于點，連結.

由平面得平面平面，

由得平面，

所以是與平面所成的角.學科.網

由得，

所以，故.

因此，直線與平面所成的角的正弦值是.

方法二：

（Ⅰ）如圖，以AC的中點O為原點，分別以射線OB，OC為x，y軸的正半軸，建立空間直角坐標系O-xyz.

由題意知各點坐標如下：

因此

由得.

由得.

所以平面.

（Ⅱ）設直線與平面所成的角為.

由（Ⅰ）可知

設平面的法向量.

由即可取.

所以.

因此，直線與平面所成的角的正弦值是.