Question

【題目】已知，，圓，一動圓在軸右側與軸相切，同時與圓相外切，此動圓的圓心軌跡為曲線C，曲線E是以，為焦點的橢圓。

（1）求曲線C的方程；

（2）設曲線C與曲線E相交于第一象限點P，且，求曲線E的標準方程；

（3）在（1）、（2）的條件下，直線與橢圓E相交于A，B兩點，若AB的中點M在曲線C上，求直線的斜率的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

試題（1）設動圓圓心的坐標為（x，y）（x＞0），由動圓在y軸右側與y軸相切，同時與圓F2相外切，知|CF2|-x=1，由此能求出曲線C的方程．

（2）依題意，c=1，|PF1|=，得xp=，由此能求出曲線E的標準方程．

（3）設直線l與橢圓E交點A（x1，y1），B（x2，y2），A，B的中點M的坐標為（x0，y0），將A，B的坐標代入橢圓方程中，得3（x1-x2）（x1+x2）+4（y1-y2）（y1+y2）=0，由此能夠求出直線l的斜率k的取值范圍

解：（1）設動圓圓心的坐標為（x，y）（x＞0）

因為動圓在y軸右側與y軸相切，同時與圓F2相外切，

所以|CF2|-x=1，…（1分）

∴(x-1)2+y2=x+1化簡整理得y2=4x，曲線C的方程為y2=4x（x＞0）；…（3分）（2）依題意，c=1，|PF1|=，得xp=，…（4分）∴|PF2|=，又由橢圓定義得2a=|PF1|+|PF2|=4，a=2．…（5分）∴b2=a2-c2=3，所以曲線E的標準方程為

=1．…（6分）（3）設直線l與橢圓E交點A（x1，y1），B（x2，y2），A，B的中點M的坐標為（x0，y0），將A，B的坐標代入橢圓方程中，得3x12+4y12-12=0，3x22+4y22-12=0兩式相減得3（x1-x2）（x1+x2）+4（y1-y2）（y1+y2）=0，∴=-，…（7分）∵y02=4x0，∴直線AB的斜率k==-y0，…（8分）由（2）知xp=，∴yp2=4xp=，∴yp=±由題設-＜y0＜ (y0≠0)，∴-＜-y0＜，…（10分）即-＜k＜（k≠0）．…（12分）