Question

【題目】如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AD=1，BC=2，AB=3，P是AB上的一個動點，∠CPB=α，∠DPA=β． （Ⅰ）當 最小時，求tan∠DPC的值；
（Ⅱ）當∠DPC=β時，求 的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）以A為原點，AB所在直線為x軸， 建立如圖所示的直角坐標系．
則A（0，0），B（3，0），C（3，2），
D（0，1），令P（x，0），0≤x≤3
有
所以 ，
當 時， 最小
此時 ，在△CPB中， ，
在△DPA中，
所以 ，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，
，
∵∠DPC=β，∴α=π﹣2β，tanα=﹣tan2β
∴ 整理得：
此時 ．

【解析】（I）以A為原點，AB所在直線為x軸，分別寫出點A，B，C，D，P的坐標，利用數量積和二次函數的單調性\兩角和的正切公式即可得出；（II）利用誘導公式和倍角公式即可得出．
【考點精析】本題主要考查了兩角和與差的正切公式的相關知識點，需要掌握兩角和與差的正切公式：才能正確解答此題．