Question

【題目】已知函數f（x）=cos2（x+ ），g（x）=1+ sin2x．
（1）設x=x0是函數y=f（x）圖象的一條對稱軸，求g（x0）的值．
（2）設函數h（x）=f（x）+g（x），若不等式|h（x）﹣m|≤1在[﹣ ， ]上恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=cos2（x+ ）= ，

由 得所以函數的對稱軸為 ．

因為x=x0是函數y=f（x）圖象的一條對稱軸，所以 ．

所以 ，

若k是偶數，則 ，

若k是奇數，則

（2）解：h（x）=f（x）+g（x）= cos（2x+ ）+1+ sin2x= + （ cos2x﹣ sin2x）+1+ sin2x

= + （ cos2x+ sin2x）+1= ．

因為x∈[﹣ ， ]，所以 ，

所以 ，所以要使|h（x）﹣m|≤1恒成立，

即﹣1≤m﹣h（x）≤1，

所以h（x）﹣1≤m≤1+h（x）．

所以1

【解析】（1）利用三角函數對稱軸的性質確定x0的值，然后代入求值即可．（2）求出函數h（x）=f（x）+g（x）的最值即可．
【考點精析】本題主要考查了二倍角的余弦公式和三角函數的最值的相關知識點，需要掌握二倍角的余弦公式：；函數，當時，取得最小值為；當時，取得最大值為，則，，才能正確解答此題．