Question

【題目】已知圓的方程為：．

（1）直線過點，且與圓交于兩點，若，求直線的方程；

（2）圓上有一動點，，若向量，求動點的軌跡方程，并說明此軌跡是什么曲線．

Answer 1

【答案】（1）或；（2），軌跡是一個焦點在軸上的橢圓

【解析】

（1）當直線垂直于軸時，可驗證其滿足題意，得到直線方程為；當直線不垂直于軸時，設直線為，利用垂徑定理可求得圓心到直線距離，利用點到直線距離公式構造方程求得，從而得到直線方程；（2）設，利用向量坐標運算可得到，，根據在圓上，可代入整理得到點軌跡.

（1）當直線垂直于軸時，此時直線方程為

與圓的兩個交點坐標為和，這兩點的距離為，滿足題意；

當直線不垂直于軸時，設其方程為：，即：

設圓心到此直線的距離為，則：，解得：

，解得：

此時直線方程為：

綜上所述，所求直線方程為：或

（2）設點的坐標為

∵，，

∴ ，

∵ ∴，即

∴點的軌跡方程是，軌跡是一個焦點在軸上的橢圓