Question

【題目】如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E、F分別是PC、AD中點，

(1)求證：DE//平面PFB；

(2)求PB與面PCD所成角的正切值。

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）取PB的中點G，連接EG，FG，通過證明四邊形FGED是平行四邊形，得ED//GF，進而可以得到DE//面PFB；

（2）先由條件求出∠BPC就是PB與面PCD所成的角，再通過求三角形邊長即可得到結論

（1）取PB的中點G，連接EG，FG，如圖，

E，G分別是PC，PB的中點，

FG//BC且FG=BC，又DF//BC且DF=BC

FG//DF且FG=DF，

四邊形FGED是平行四邊形，

則DE//GF，又DE面PFB，GF面PFB，

DE//面PFB

（2）由已知得：PD⊥面ABCD

∴PD⊥BC

∵ABCD是正方形

∴BC⊥CD

又PD∩CD＝D

∴BC⊥面PCD

∴PB在面PCD內的射影是PC

∴∠BPC就是PB與面PCD所成的角．

設PD＝DC＝a，則PC＝

∴在△PBC中，∠PCB＝90°，PC＝，BC＝a

∴tan∠BPC＝

∴PC與面PCD所成角的正切值為