Question

對于定義域為D的函數f（x），若存在區間M=[a，b]⊆D（a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，則稱區間M為函數f（x）的“等值區間”．給出下列四個函數：①f（x）=2^x；②f（x）=x³；③f（x）=sinx；④f（x）=log₂x+1．則存在“等值區間”的函數的序號是

 

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Answer 1

考點：進行簡單的合情推理

專題：綜合題,推理和證明

分析：根據“等值區間”的定義，要想說明函數存在“等值區間”，只要舉出一個符合定義的區間M即可，但要說明函數沒有“等值區間”，可以用反證明法來說明．由此對四個函數逐一進行判斷，即可得到答案．

解答： 解：①對于函數f（x）=2^x，若存在“等值區間”[a，b]，由于函數是定義域內的增函數，故有2^a=a，2^b=b，
即方程2^x=x有兩個解，即y=2^x和y=x的圖象有兩個交點，這與y=2^x和y=x的圖象沒有公共點相矛盾，故①不存在
“等值區間”．
②對于函數f（x）=x³存在“等值區間”，如 x∈[0，1]時，f（x）=x³∈[0，1]．
③對于函數f（x）=sinx，若正弦函數存在等值區間[a，b]，則在區間[a，b]上有sina=a，sinb=b，由正弦函數的值域知道[a，b]⊆[-1，1]，但在區間]⊆[-1，1]上僅有sin0=0，所以函數f（x）=sinx沒有“等值區間”；
④對于 f（x）=log₂x+1，由于函數是定義域內的增函數，故在區間[1，2]上有f（1）=1，f（2）=2，所以函數存在“等值區間”[1，2]．
故答案為：②④．

點評：本題考查的知識點是函數的概念及其構造要求，考查了函數的值域，在說明一個函數沒有“等值區間”時，利用函數的性質、圖象結合反證法證明是解答本題的關鍵，屬于創新題．