Question

若函數(shù)f（x）在給定區(qū)間M上存在的正數(shù)t，使得對任意的x∈M，有x+t∈M，且f（x+t）≥f（x），則稱f（x）為M上的t級類增函數(shù)，給出下列命題：
①函數(shù)f（x）=3^x是R上的1級類增函數(shù)；
②若函數(shù)f（x）=R上單調(diào)遞增，則f（x）一定為R上的t級類增函數(shù)；
③若函數(shù)f（x）=sinx+ax為[

π

2

，+∞]上的

π

3

級類增函數(shù)，則實數(shù)a的最小值為2；
④若函數(shù)f（x）=x²-3x為[1，+∞）上的t級類增函數(shù)，則實數(shù)t的取值范圍為[1，+∞）．
其中正確的命題為

 

（寫出所有正確命題的序號）．

Answer 1

考點：進行簡單的合情推理

專題：綜合題,推理和證明

分析：①f（x+1）-f（x）=3^x+1-3^x=2•3^x；
②x+t＞x，f（x+t）＞f（x）恒成立，即可判斷；
③函數(shù)f（x）=sinx+ax為[

π

2

，+∞]上的

π

3

級類增函數(shù)，故運用參數(shù)分離，求出最大值，只要a不小于最大值即可；
④由f（x）=x²-3x為[1，+∞）上的t級類增函數(shù)，能導出實數(shù)t的取值范圍為[1，+∞）．

解答： 解：對于①，函數(shù)f（x）=3^x，∴f（x+1）-f（x）=3^x+1-3^x=2•3^x，∴3^x≥0在（-∞，+∞）上恒成立，∴①正確；
對于②，∵x+t＞x，∴f（x+t）＞f（x）恒成立，∴②正確；
對于③，f（x）=sinx+ax為[

π

2

，+∞]上的

π

3

級類增函數(shù)，∴sin（x+

π

3

）+a（x+

π

3

）≥sinx+ax，sinxcos

π

3

+cosxsin

π

3

+ax+

π

3

a≥sinx+ax，∴

3

2

cosx+

π

3

a≥

1

2

sinx，當x=

π

2

時，

π

3

a≥

1

2

，a≥

3

2π

，∴則實數(shù)a的最小值為2，∴③不正確；
對于④，∵f（x）=x²-3x為[1，+∞）上的t級類增函數(shù)，∴（x+t）²-3（x+t）≥x²-3x，
∴2tx+t²-3t≥0，t≥3-2x，由于x∈[1，+∞），則3-2x≤1，故實數(shù)t的取值范圍為[1，+∞），∴④正確．
故答案為：①②④．

點評：本題考查命題的真假判斷，考查新定義，同時考查函數(shù)的性質(zhì)及應用，是中檔題．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．