Question

已知：如圖，△ABC中，AB=AC，D是BC的中點，AE平分∠DAC交DC于E，點O是AC一點，⊙O過A、E兩點，交AD于G，交AC于F，連接EF．
（1）求證：CD與⊙O相切．
（2）連接FG交AE于H，若EH=2，HA=

5

2

，求EF長．

Answer 1

（1）∵AB=AC，D是BC的中點，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE=∠OAE，
又∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∴∠DAE=∠OEA，
∴AD∥OE，
∴∠ADE=∠OEC=90°，
∴OE⊥CD，
∴CD與⊙O相切；

（2）∵AF為圓O的直徑，
∴∠AGF=90°，又∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠AGF，
∴GF∥DC，
∴∠HFE=∠FEC，
又∵∠FEC=∠EAF，
∴∠HFE=∠EAF，
又∵∠HEF=∠FEA，
∴△HEF∽△FEA，
∴

EF

AE

=

HE

EF

，
又∵HE=2，AE=AH+HE=2+

5

2

=

9

2

，
∴EF²=2×

9

2

=9，
∴EF=3．