Question

【題目】如圖，點O是等邊△ABC內一點，D是△ABC外的一點，∠AOB=130°，∠BOC=α，△BOC≌△ADC，∠OCD=60°，連接OD．

（1）求證：△OCD是等邊三角形；

（2）當α=150°時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；

（3）探究：當α為多少度時，△AOD是等腰三角形．（直接寫出答案）

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2) 是直角三角形，理由見解析；(3) 115°或100°或130°.

【解析】

（1）根據得，則是等腰三角形，又，故是等邊三角形；

（2）根據可得，即，由題（1）可得，則，故是有一個銳角為的直角三角形；

（3）由題（2）可知：，由三角形內角和定理得，然后分哪兩個角為底角建立等式求解即可.

（1）

是等腰三角形

又

是等邊三角形；

（2）當時，是直角三角形.理由如下：

，即

由題（1）的結論可得

是有一個銳角為的直角三角形；

（3）由題（2）可知：

則在中，

當時，是等腰三角形，解得

當時，是等腰三角形，解得

當時，是等腰三角形，解得

綜上，當為或或時，是等腰三角形.