Question

【題目】（1）發現：如圖，點是線段上的一點，分別以為邊向外作等邊三角形和等邊三角形，連接，，相交于點.

①線段與的數量關系為：___________；的度數為__________.

②可看作經過怎樣的變換得到的？____________________________.

（2）應用：如圖，若點不在一條直線上，（1）的結論①還成立嗎？請說明理由；

（3）拓展：在四邊形中，，，，若，，請直接寫出，兩點之間的距離.

Answer 1

【答案】（1）①，；（2）依然成立，見解析；（3）.

【解析】

（1）①證明△ABE≌△CBD,根據全等三角形的性質即可求出線段與的數量關系；根據三角形外角的性質即可求出的度數.

②根據旋轉的性質即可求解.

（2）根據（1）①中的步驟進行證明即可.

（3）

解：（1）①∵△ABC和△BDE都是等邊三角形，

∴AB=CB,EB=ED,

∴∠ABC+∠CBE=∠DBE+∠CBE，

即∠ABE=∠CBD，

在△ABE和△CBD中，

∴△ABE≌△CBD(SAS)，

∴AE=CD，∠BAE=∠BCD，

由三角形的外角性質，∠AOC=∠BAE+∠BDC=∠BCD+∠BDC，

∠ABC=∠BCD+∠BDC，

∴∠AOC=∠ABC=；

故答案為：；.

②可看作由繞點順時針旋轉得到的（或可看作由繞點逆時針旋轉得到）

（2）依然成立，理由如下：

∵和均是等邊三角形，

∴，，，

∴，

即

在和中，

∵，，，

∴

∴．

設與交于點

∵，

∴

在和中，其內角和均為

∵，

∴

（3）將繞點順時針旋轉得到,

根據旋轉的性質可得：