Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，點D，F分別是AC，AB的中點，CE∥DB，BE∥DC．

（1）求證：四邊形DBEC是菱形；

（2）若AD=3，DF=1，求四邊形DBEC面積．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)4

【解析】分析：（1）根據平行四邊形的判定定理首先推知四邊形DBEC為平行四邊形，然后由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到其鄰邊相等：CD=BD，得證；

（2）由三角形中位線定理和勾股定理求得AB邊的長度，然后根據菱形的性質和三角形的面積公式進行解答．

詳解：（1）證明：∵CE∥DB，BE∥DC，

∴四邊形DBEC為平行四邊形．

又∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，點D是AC的中點，

∴CD=BD=AC，

∴平行四邊形DBEC是菱形；

（2）∵點D，F分別是AC，AB的中點，AD=3，DF=1，

∴DF是△ABC的中位線，AC=2AD=6，S△BCD=S△ABC

∴BC=2DF=2．

又∵∠ABC=90°，

∴AB===4．

∵平行四邊形DBEC是菱形，

∴S四邊形DBEC=2S△BCD=S△ABC=ABBC=×4×2=4．