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    例1  已知，若求的范圍。

錯誤解法  由條件得

②×2－①得                                                    

①×2－②得                                                 

+得 

錯誤分析  采用這種解法，忽視了這樣一個事實：作為滿足條件的函數，其值是同時受制約的。當取最大（小）值時，不一定取最大（小）值，因而整個解題思路是錯誤的。

正確解法  由題意有

解得：

把和的范圍代入得

在本題中能夠檢查出解題思路錯誤，并給出正確解法，就體現了思維具有反思性。只有牢固地掌握基礎知識，才能反思性地看問題。

例2     證明勾股定理：已知在中，，求證

錯誤證法  在中，而，

，即

錯誤分析  在現行的中學體系中，這個公式本身是從勾股定理推出來的。這種利用所要證明的結論，作為推理的前提條件，叫循環論證。循環論證的錯誤是在不知不覺中產生的，而且不易發覺。因此，在學習中對所學的每個公式、法則、定理，既要熟悉它們的內容，又要熟悉它們的證明方法和所依據的論據。這樣才能避免循環論證的錯誤。發現本題犯了循環論證的錯誤，正是思維具有反思性的體現。

(2)  驗算的訓練

驗算是解題后對結果進行檢驗的過程。通過驗算，可以檢查解題過程的正確性，增強思維的反思性。

例3   已知數列的前項和，求

錯誤解法 

錯誤分析  顯然，當時，，錯誤原因，沒有注意公式成立的條件是因此在運用時，必須檢驗時的情形。即：

例4   實數為何值時，圓與拋物線有兩個公共點。

錯誤解法  將圓與拋物線 聯立，消去，

得                                        ①

因為有兩個公共點，所以方程①有兩個相等正根，得  

 解之，得

錯誤分析  （如圖2－2－1；2－2－2）顯然，當時，圓與拋物線有兩個公共點。

要使圓與拋物線有兩個交點的充要條件是方程①有一正根、一負根；或有兩個相等正根。

當方程①有一正根、一負根時，得解之，得

因此，當或時，圓與拋物線有兩個公共點。

思考題：實數為何值時，圓與拋物線，

（1）    有一個公共點；

（2）    有三個公共點；

（3）    有四個公共點；

（4）    沒有公共點。

養成驗算的習慣，可以有效地增強思維反思性。如：在解無理方程、無理不等式；對數方程、對數不等式時，由于變形后方程或不等式兩端代數式的定義域可能會發生變化，這樣就有可能產生增根或失根，因此必須進行檢驗，舍棄增根，找回失根。

(3)  獨立思考，敢于發表不同見解

受思維定勢或別人提示的影響，解題時盲目附和，不能提出自己的看法，這不利于增強思維的反思性。因此，在解決問題時，應積極地獨立思考，敢于對題目解法發表自己的見解，這樣才能增強思維的反思性，從而培養創造性思維。

例5   30支足球隊進行淘汰賽，決出一個冠軍，問需要安排多少場比賽？

解  因為每場要淘汰1個隊，30個隊要淘汰29個隊才能決出一個冠軍。因此應安排29場比賽。

思 路 分 析  傳統的思維方法是：30支隊比賽，每次出兩支隊，應有15＋7＋4＋2＋1＝29場比賽。而上面這個解法沒有盲目附和，考慮到每場比賽淘汰1個隊，要淘汰29支隊，那么必有29場比賽。

例6   解方程

考察方程兩端相應的函數，它們的圖象無交點。

所以此方程無解。

例7  設是方程的兩個實根，則的最小值是（     ）

思路分析  本例只有一個答案正確，設了3個陷阱，很容易上當。

利用一元二次方程根與系數的關系易得：

有的學生一看到，常受選擇答案（A）的誘惑，盲從附和。這正是思維缺乏反思性的體現。如果能以反思性的態度考察各個選擇答案的來源和它們之間的區別，就能從中選出正確答案。

原方程有兩個實根，

當時，的最小值是8；當時，的最小值是18；

這時就可以作出正確選擇，只有（B）正確。