Question

【題目】已知橢圓C以原點為中心，左焦點F的坐標是（﹣1，0），長軸長是短軸長的 倍，直線l與橢圓C交于點A與B，且A、B都在x軸上方，滿足∠OFA+∠OFB=180°；

（1）求橢圓C的標準方程；
（2）對于動直線l，是否存在一個定點，無論∠OFA如何變化，直線l總經過此定點？若存在，求出該定點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設橢圓的標準方程為： （a＞b＞0），

由題意可知：2a= 2b，即a= b，

由c=1，則a2=b2+c2=b2+1，

代入求得：a2=2，b2=1，

橢圓C的方程為：

（2）解：存在一個定點M（﹣2，0），無論∠OFA如何變化，直線l總經過此定點

證明：由OFA+∠OFB=180°，則B關于x軸的對稱點B1在直線AF上．

設A（x1，y1），B（x2，y2），B1（x2，﹣y2

設直線AF方程：y=k（x+1），代入 ，

得：（k2+ ）x2+2k2x+k2﹣1=0，…（13分）

由韋達定理可知：x1+x2= ，x1x2= ，

由直線AB的斜率kAB=

AB的方程：y﹣y1= （x﹣x1），

令y=0，得：x1﹣y1 ，

y1=k（x1+1），y2=k（x2+1），

x= = = = =﹣2，

∴直線l總經過定點M（﹣2，0）．

【解析】（1）由題意可知設橢圓的標準方程為： （a＞b＞0），2a= 2b，即a= b，代入求得：a2=2，b2=1，即可求得橢圓C的標準方程；（2）B關于x軸的對稱點B1在直線AF上．設直線AF方程：y=k（x+1），代入橢圓方程，由韋達定理及直線的斜率公式，代入由x= = ，此能證明直線l總經過定點M（﹣2，0）．
【考點精析】通過靈活運用橢圓的標準方程，掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：即可以解答此題．