Question

【題目】已知函數 ．
（1）若y=f（x）在（0，+∞）恒單調遞減，求a的取值范圍；
（2）若函數y=f（x）有兩個極值點x1 ， x2（x1＜x2），求a的取值范圍并證明x1+x2＞2．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為f'（x）=lnx﹣ax+1（x＞0），

所以由f'（x）≤0在（0，+∞）上恒成立得 ，

令 ，易知g（x）在（0，1）單調遞增（1，+∞）單調遞減，

所以a≥g（1）=1，

即得：a≥1

（2）解：函數y=f（x）有兩個極值點x1，x2（x1＜x2），

即y=f'（x）有兩個不同的零點，且均為正，f'（x）=lnx﹣ax+1（x＞0），

令F（x）=f'（x）=lnx﹣ax+1，由 可知

1）a≤0時，函數y=f（x）在（0，+∞）上是增函數，不可能有兩個零點．

2）a＞0時，y=F（x）在 是增函數在 是減函數，

此時 為函數的極大值，也是最大值．

當 時，最多有一個零點，所以 才可能有兩個零點，

得：0＜a＜1

此時又因為 ， ， ，

令 ，φ（a）在（0，1）上單調遞增，

所以φ（a）＜φ（1）=3﹣e2，即

綜上，所以a的取值范圍是（0，1）

下面證明x1+x2＞2

由于y=F（x）在 是增函數在 是減函數， ，可構造出

構造函數

則 ，故m（x）在區間 上單調減．又由于 ，

則 ，即有m（x1）＞0在 上恒成立，即有 成立．

由于 ， ，y=F（x）在 是減函數，所以

所以 成立

【解析】（1）求出函數的導數，問題轉化為 ，令 ，根據函數的單調性求出g（x）的最大值，從而求出a的范圍即可；（2）求出函數f（x）的導數，令F（x）=f'（x）=lnx﹣ax+1，求出函數F（x）的導數，通過討論a的范圍求出a的范圍，證明即可．
【考點精析】通過靈活運用利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值即可以解答此題．