Question

【題目】在正三棱錐P﹣ABC中，已知底面等邊三角形的邊長為6，側棱長為4．
（1）求證：PA⊥BC；
（2）求此三棱錐的全面積和體積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取BC的中點M，連AM、BM．

∵△ABC是等邊三角形，

∴AM⊥BC．

又∵PB=PC，

∴PM⊥BC．

∵AM∩PM=M，

∴BC⊥平面PAM，

則PA⊥BC

（2）解：記O是等邊三角形的中心，則PO⊥平面ABC．

∵△ABC是邊長為6的等邊三角形，

∴ ．

∴ ， ，

∵ ，

∴ ；

．

【解析】（1）取BC的中點M，連AM、BM．由△ABC是等邊三角形，可得AM⊥BC．再由PB=PC，得PM⊥BC．利用線面垂直的判定可得BC⊥平面PAM，進一步得到PA⊥BC；（2）記O是等邊三角形的中心，則PO⊥平面ABC．由已知求出高，可求三棱錐的體積．求出各面的面積可得三棱錐的全面積．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面垂直的性質的相關知識，掌握垂直于同一個平面的兩條直線平行．