Question

【題目】某聯歡晚會舉行抽獎活動，舉辦方設置了甲、乙兩種抽獎方案，方案甲的中獎率為 ，中獎可以獲得2分；方案乙的中獎率為P0（0＜P0＜1），中獎可以獲得3分；未中獎則不得分．每人有且只有一次抽獎機會，每次抽獎中獎與否互不影響，晚會結束后憑分數兌換獎品． （Ⅰ）張三選擇方案甲抽獎，李四選擇方案乙抽獎，記他們的累計得分為X，若X≤3的概率為 ，求P0；
（Ⅱ）若張三、李四兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進行抽獎，問：他們選擇何種方案抽獎，累計得分的數學期望較大？

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由已知得，張三中獎的概率為 ，李四中獎的概率為P0 ， 且兩人中獎與否互不影響． 記“這2人的累計得分X≤3”的事件為A，則事件A的對立事件為“X=5”，
因為P（X=5）= ×P0 ， 所以P（A）=1﹣P（X=5）=1﹣ ×P0= ，
所以 ．
（Ⅱ）設張三、李四都選擇方案甲抽獎中獎次數為X1 ， 都選擇方案乙抽獎中獎次數為X2 ，
則這兩人選擇方案甲抽獎累計得分的數學期望為E（2X1），
選擇方案乙抽獎累計得分的數學期望為E（3X2）．
由已知可得，X1～B（2， ），X2～B（2，P0），
所以E（X1）=2× = ，E（X2）=2×P0 ，
從而E（2X1）=2E（X1）= ，E（3X2）=3E（X2）=6P0 ．
若E（2X1）＞E（3X2），則 ＞6P0 ， 所以0＜P0＜ ；
若E（2X1）＜E（3X2），則 ＜6P0 ， 所以 ＜P0＜1；
若E（2X1）=E（3X2），則 =6P0 ， 所以P0=
【解析】（Ⅰ）記“這2人的累計得分X≤3”的事件為A，則事件A的對立事件是“X=5”，由題意知，先根據相互獨立事件的乘法公式求出對立事件的概率，再利用對立事件的概率公式，結合X≤3的概率為 ，即可求P0；（Ⅱ）設張三、李四兩人都選擇甲方案抽獎中獎次數為X1 ， 張三、李四兩人都選擇方案乙抽獎中獎次數為X2 ， 則這兩人都選擇甲方案抽獎累計得分的數學期望為E（2X1），都選擇乙方案抽獎累計得分的數學期望為E（3X2）．根據題意知X1～B（2， ），X2～B（2，P0），利用貝努利概率的期望公式計算，再分類討論，從而得出答案．