Question

【題目】數列{an}滿足Sn=2n﹣an（n∈N*）． （Ⅰ）計算a1 ， a2 ， a3 ， a4 ， 并由此猜想通項公式an；
（Ⅱ）用數學歸納法證明（Ⅰ）中的猜想．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當n=1時，a1=s1=2﹣a1 ， 所以a1=1． 當n=2時，a1+a2=s2=2×2﹣a2 ， 所以 ．
同理： ， ．
由此猜想
（Ⅱ）證明：①當n=1時，左邊a1=1，右邊=1，結論成立．
②假設n=k（k≥1且k∈N*）時，結論成立，即 ，
那么n=k+1時，ak+1=sk+1﹣sk=2（k+1）﹣ak+1﹣2k+ak=2+ak﹣ak+1 ，
所以2ak+1=2+ak ， 所以 ，
這表明n=k+1時，結論成立．
由①②知對一切n∈N*猜想 成立
【解析】（Ⅰ）通過n=1，2，3，4，直接計算a1 ， a2 ， a3 ， a4 ， 并由此猜想通項公式 ；（Ⅱ）直接利用數學歸納法證明．檢驗n取第一個值時，等式成立，假設 ，證明．