Question

【題目】已知直線與橢圓相交于兩點.

（1）若橢圓的離心率為，焦距為，求線段的長；

（2）若向量與向量互相垂直（其中為坐標原點），當橢圓的離心率時，求橢圓長軸長的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）根據橢圓的幾何性質，求得的值，得到橢圓的標準方程，直線方程與橢圓的方程聯立，求得交點的坐標，即可求解線段的長；（2）由，得，直線方程與橢圓方程聯立，利用根與系數的關系和韋達定理，整理得，即可求解長軸的最大值.

試題解析：⑴，，∴，，則

∴橢圓的方程為；

聯立，消去得：，設，，

則，，∴…………（6分）

⑵∵，∴，即，

由，消去得，

由，整理得，

又，，∴，

由得，∴

整理得：，∵，代入上式得

，∴，

∵，∴，∴，∴，∴，

∴，適合條件，

由此得，∴，故長軸長的最大值為……………（12分）