【題目】設
,
.
（Ⅰ）當
時,求曲線
在
處的切線的方程;
（Ⅱ）如果存在
,使得
成立,求滿足上述條件的最大整數
;
（Ⅲ）如果對任意的
,都有
成立,求實數
的取值范圍.
【答案】（1）
；（2）
；（3）
.
【解析】
試題分析：本題考查導數的運算，利用導數研究函數的單調性、最值等基礎知識，考查函數思想和轉化思想，考查綜合分析和解決問題的能力.第一問，將
代入得到
解析式，求
將
代入得到切線的斜率，再將
代入到中得到切點的縱坐標，利用點斜式求出切線方程；第二問，先將問題轉化為
，進一步轉化為求函數
的最大值和最小值問題，對
求導，通過畫表判斷函數的單調性和極值，求出最值代入即可；第三問，結合第二問的結論，將問題轉化為
恒成立，進一步轉化為
恒成立，設出新函數
，求
的最大值，所以
即可.
試題解析：(1)當
時,
,
,
,
,
所以曲線
在
處的切線方程為
; 2分
(2)存在
,使得
成立等價于:
,
考察
,
,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
| 遞減 | 極小值 | 遞增 |
|
由上表可知:
,
,
所以滿足條件的最大整數
; 7分
(3)當
時,
恒成立等價于
恒成立,
記
，
，
，
記
，
，由于
，
，所以
在
上遞減，
當
時，
，
時，
，
即函數
在區間
上遞增，在區間
上遞減，
所以
，所以
.
閱讀快車系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了解某地參加2015 年夏令營的
名學生的身體健康情況，將學生編號為
，采用系統抽樣的方法抽取一個容量為
的樣本，且抽到的最小號碼為
，已知這名學生分住在三個營區，從
到
在第一營區，從
到
在第二營區，從
到在第三營區，則第一、第二、第三營區被抽中的人數分別為（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知直線
與橢圓
相交于
兩點.
（1）若橢圓的離心率為
，焦距為
，求線段
的長；
（2）若向量
與向量
互相垂直（其中
為坐標原點），當橢圓的離心率
時，求橢圓長軸長的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率為
，橢圓上任意一點到右焦點
的距離的最大值為
.
（1）求橢圓的方程；
（2）已知點
是線段
上異于
的一個定點（
為坐標原點），是否存在過點且與
軸不垂直的直線
與橢圓交于
兩點，使得
，并說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
：
的左、右焦點分別為
，過點
作垂直于
軸的直線
，直線
垂直于點
，線段
的垂直平分線交于點
．
（1）求點的軌跡
的方程；
（2）過點
作兩條互相垂直的直線
，且分別交橢圓于
，求四邊形
面積的最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知動直線
過點
，且與圓
交于
、
兩點．
（1）若直線的斜率為
，求
的面積；
（2）若直線的斜率為
，點
是圓
上任意一點，求
的取值范圍；
（3）是否存在一個定點
（不同于點
），對于任意不與
軸重合的直線，都有
平分
，若存在，求出定點的坐標；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某校從高二年級學生中隨機抽取50名學生，將他們的期中考試數學成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）若該校高二年級共有學生1000人，試估計成績不低于60分的人數；
（2）求該校高二年級全體學生期中考試成績的眾數、中位數和平均數的估計值．
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