【題目】已知函數
.
（Ⅰ）討論
的單調性；
（Ⅱ）當
時，設
，若存在
，
，使
，求實數
的取值范圍.（
為自然對數的底數，
）
【答案】（I）當
時，
的減區間為
，增區間
，當
時，的減區間為
；當
時，的減區間為
，
，增區間為
；（II）
.
【解析】
試題分析：（I）先求出函數的定義域和
，然后解關于
的不等式
，即可分類討論得到函數的單調區間；（II）由（I）可得
時函數
在
上單調遞減，把存在
，
，使
，轉化為
上的最大值大于
的最小值，進而轉化為
在的上的最大值、最小值.
試題解析：（Ⅰ）
，
.…………………1分
令
①
時，
，的減區間為
，增區間為
.…………2分
②當
時，
所以當
時，
，
，在區間
上單調遞減.……………………4分
當
時，
，
，
,
當
時，
，單調遞減，
當
時，
，單調遞增，
當
時，，單調遞減，………………7分
所以當時，的減區間為，增區間.
當時，的減區間為.
當時，的減區間為，
增區間為.…………8分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
在
上的最大值為
，………………10分
，令
，得
.
時，
，
單調遞減，
，
，單調遞增，………………12分
所以在
上的最小值為
，……………13分
由題意可知
，解得
…………14分
所以
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的中心在原點
，焦點在
軸上，離心率為
，右焦點到右頂點的距離為
．
（1）求橢圓
的標準方程；
（2）是否存在與橢圓
交于
兩點的直線
，使得
成立？若存在，求出實數
的取值范圍，若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】心理學家分析發現視覺和空間能力與性別有關，某數學興趣小組為了驗證這個結論，從興趣小組中按分層抽樣的方法抽取50名同學（男30女20），給所有同學幾何題和代數題各一題，讓各位同學自由選擇一道題進行解答．選題情況如下表：（單位：人）
幾何題 | 代數題 | 總計 | |
男同學 | 22 | 8 | 30 |
女同學 | 8 | 12 | 20 |
總計 | 30 | 20 | 50 |
（1）能否據此判斷有97．5％的把握認為視覺和空間能力與性別有關?
（2）現從選擇做幾何題的8名女生中任意抽取兩人對她們的答題情況進行全程研究，記甲、乙兩女生被抽到的人數為X，求X的分布列及數學期望E（X）．
附表及公式：
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
.
（1）若對
，不等式
恒成立，求實數
的取值范圍；
（2）記
，那么當
時，是否存在區間
使得函數在區間
上的值域恰好為
？若存在，請求出區間
；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知直線
與橢圓
相交于
兩點.
（1）若橢圓的離心率為
，焦距為
，求線段
的長；
（2）若向量
與向量
互相垂直（其中
為坐標原點），當橢圓的離心率
時，求橢圓長軸長的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率為
，橢圓C的長軸長為4．
（1）求橢圓
的方程；
（2）已知直線
與橢圓交于A，B兩點，是否存在實數k使得以線段AB 為直徑的圓恰好經過坐標原點O？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率為
，橢圓上任意一點到右焦點
的距離的最大值為
.
（1）求橢圓的方程；
（2）已知點
是線段
上異于
的一個定點（
為坐標原點），是否存在過點且與
軸不垂直的直線
與橢圓交于
兩點，使得
，并說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，點E為正方形ABCD邊CD上異于點C，D的動點，將△ADE沿AE翻折成△SAE，使得平面SAE⊥平面ABCE，則下列三個說法中正確的個數是（ ）
①存在點E使得直線SA⊥平面SBC
②平面SBC內存在直線與SA平行
③平面ABCE內存在直線與平面SAE平行
A．0 B．1 C．2 D．3
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