Question

【題目】(本小題滿分14分)

如圖，在正三棱柱中，點分別是的中點．

求證： ∥平面

若求證：A1B⊥平面B1CE.

Answer 1

【答案】詳見解析

【解析】試題分析：證明線面垂直，只需尋求線線垂直，利用中位線定理可得線線平行，繼而得證；證明線面垂直，只需尋求線線垂直，找出這條直線垂直平面內的兩條相交直線垂直，即可得證.

試題解析

證明：(1) 連結AC1，BC1，

因為AA1C1C是矩形，D是A1C的中點，

所以D是AC1的中點．在△ABC1中，因為D，E分別是AC1，AB的中點，

所以DE∥BC1.

因為DE 平面BB1C1C，BC1平面BB1C1C，

所以ED∥平面BB1C1C.

(2) 因為△ABC是正三角形，E是AB的中點，

所以CE⊥AB.

因為正三棱柱A1B1C1ABC中，平面ABC⊥平面ABB1A1，交線為AB，所以CE⊥平面ABB1A1.

從而CE⊥A1B.

在矩形ABB1A1中，因為，

所以Rt△A1B1B∽Rt△B1BE，從而∠B1A1B＝∠BB1E.

因此∠B1A1B＋∠A1B1E＝∠BB1E＋∠A1B1E＝90°，

所以A1B⊥B1E.

因為CE，B1E平面B1CE，CE∩B1E＝E，

所以A1B⊥平面B1CE.