Question

【題目】已知數列{an}的前n項和為Sn ， 若Sn=2an﹣3n．
（Ⅰ）求證：數列{an+3}是等比數列，并求出數列{an}的通項an；
（Ⅱ）求數列{nan}的前n項和Tn ．

Answer 1

【答案】（I）證明：∵Sn=2an﹣3n，∴n=1時，a1=2a1﹣3，解得a1=3．
n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣3n﹣[2an﹣1﹣3（n﹣1）]，
化為：an=2an﹣1+3，變形為：an+3=2（an﹣1+3），∴數列{an+3}是等比數列，公比為2．
∴an+3=6×2n﹣1 ， 解得an=3×2n﹣3．
（II）解：nan=3n×2n﹣3n．
設數列{n×2n}的前n項和為An=2+2×22+3×23+…+n×2n ，
2An=22+2×23+…+（n﹣1）×2n+n×2n+1 ，
∴﹣An=2+22+…+2n﹣n×2n+1= ﹣n×2n+1=（1﹣n）×2n+1﹣2，
∴An=（n﹣1）×2n+1+2．
∴數列{nan}的前n項和Tn=6+（3n﹣3）×2n+1﹣3×
【解析】（I）Sn=2an﹣3n，n=1時，a1=2a1﹣3，解得a1 ． n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1 ， 化為：an=2an﹣1+3，變形為：an+3=2（an﹣1+3），利用等比數列的通項公式即可得出．（II）nan=3n×2n﹣3n．設數列{n×2n}的前n項和為An=2+2×22+3×23+…+n×2n ， 利用“錯位相減法”與等比數列的求和公式即可得出An ， 再利用等差數列的求和公式進而得出．
【考點精析】本題主要考查了數列的前n項和和數列的通項公式的相關知識點，需要掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式才能正確解答此題．