Question

【題目】已知函數f（x）=ln（x﹣1）﹣kx+k+1．
（1）當k=1時，證明：f（x）≤0；
（2）求函數f（x）的單調區間；
（3）證明： + +…+ ＜ （n∈N* ， 且n≥2）．

Answer 1

【答案】
（1）證明： k=1時，f（x）=ln（x﹣1）﹣x+2，定義域為（1，+∞），

f'（x）= =

由f'（x）＞0，得0＜x＜2；f'（x）＜0，得x＞2．

故f（x）在（1，2）上單調遞增，在（2，+∞）上單調遞減

∴f（x）max=f（2）=0

∴f（x）≤0；

（2）解：f'（x）=

∵x＞1，∴

①當k≤0是，f'（x）＞0恒成立，故f（x）的單調增區間為（1，+∞），無單調減區間；

②當k＞0時，f'（x）=

由f'（x）＞0，得1＜x＜1+ ；f'（x）＜0，得x＞1+ ．

故f（x）的單調增區間為（1，1+ ），單調減區間為（1+ ，+∞）；

（3）證明：由（1）可知，ln（x﹣1）≤x﹣2，x＞1，

令x﹣1=t，則lnt≤t﹣1，t＞0，

取t=n2，則lnn2≤n2﹣1，即lnn ，

故 ，n∈N*，n≥2

∴ …+ …+ = ，

即 …+ ．

【解析】（1）利用導數，可知f（x）在（1，2）上單調遞增，在（2，+∞）上單調遞減，故f（x）max=f（2）=0，從而結論成立；（2）f'（x）= ，對k進行分類討論，即可求出單調區間；（3）由（1）可知，ln（x﹣1）≤x﹣2，令x﹣1=t，則lnt≤t﹣1，再用賦值法，取t=n2 ， 則lnn2≤n2﹣1，即lnn ，由此即可證明結論成立．
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能得出正確答案．