Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（12分）

（1）證明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，且四棱錐P﹣ABCD的體積為 ，求該四棱錐的側面積．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵在四棱錐P﹣ABCD中，∠BAP=∠CDP=90°，

∴AB⊥PA，CD⊥PD，

又AB∥CD，∴AB⊥PD，

∵PA∩PD=P，∴AB⊥平面PAD，

∵AB平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD．

（2）

解：設PA=PD=AB=DC=a，取AD中點O，連結PO，

∵PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，平面PAB⊥平面PAD，

∴PO⊥底面ABCD，且AD= = ，PO= ，

∵四棱錐P﹣ABCD的體積為 ，

∴VP﹣ABCD=

= = = =8，

解得a=2，∴PA=PD=AB=DC=2，AD=BC=2 ，PO= ，

∴PB=PC= =2 ，

∴該四棱錐的側面積：

S側=S△PAD+S△PAB+S△PDC+S△PBC

= + + +

=

=6+2 ．

【解析】（1.）推導出AB⊥PA，CD⊥PD，從而AB⊥PD，進而AB⊥平面PAD，由此能證明平面PAB⊥平面PAD．
（2.）設PA=PD=AB=DC=a，取AD中點O，連結PO，則PO⊥底面ABCD，且AD= ，PO= ，由四棱錐P﹣ABCD的體積為 ，求出a=2，由此能求出該四棱錐的側面積．
【考點精析】關于本題考查的平面與平面垂直的判定，需要了解一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直才能得出正確答案．