Question

【題目】已知四棱錐，底面是菱形，平面，點為中點，點為中點．

（1） 證明：平面平面；

（2） 求二面角的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

(1)先由已知條件證明為等邊三角形,可得，利用線面垂直的的性質可證,得到面，進而證明面面；(2)先由二面角的定義找出二面角的平面角，利用余弦定理可求出此角的余弦值.

（1）證明：連BD．∵AB＝AD，∠DAB＝60°，

∴△ADB為等邊三角形，∴E是AB中點．∴AB⊥DE，∵PD⊥面ABCD，AB面ABCD，∴AB⊥PD．

∵DE面PED，PD面PED，DE∩PD＝D，

∴AB⊥面PED，∵AB面PAB．∴面PED⊥面PAB．

（2）解：∵AB⊥平面PED，PE面PED，∴AB⊥PE．連結EF，∵ EF面PED，∴AB⊥EF．

∴ ∠PEF為二面角P－AB－F的平面角．

設AD＝2，那么PF＝FD＝1，DE＝．

在△PEF中，PE＝，EF＝2，PF＝1

∴cos∠PEF＝

即二面角P－AB－F的平面角的余弦值為．