Question

【題目】設△AnBnCn的三邊長分別為an ， bn ， cn ， △AnBnCn的面積為Sn ， n=1，2，3…若b1＞c1 ， b1+c1=2a1 ， an+1=an ， ， ，則（ ）
A.{Sn}為遞減數列
B.{Sn}為遞增數列
C.{S2n﹣1}為遞增數列，{S2n}為遞減數列
D.{S2n﹣1}為遞減數列，{S2n}為遞增數列

Answer 1

【答案】B
【解析】解：b1=2a1﹣c1且b1＞c1 ， ∴2a1﹣c1＞c1 ， ∴a1＞c1 ， ∴b1﹣a1=2a1﹣c1﹣a1=a1﹣c1＞0，∴b1＞a1＞c1 ，
又b1﹣c1＜a1 ， ∴2a1﹣c1﹣c1＜a1 ， ∴2c1＞a1 ， ∴ ，
由題意， +an ， ∴bn+1+cn+1﹣2an= （bn+cn﹣2an），
∴bn+cn﹣2an=0，∴bn+cn=2an=2a1 ， ∴bn+cn=2a1 ，
又由題意，bn+1﹣cn+1= ，∴ ，
∴bn+1﹣a1= ，∴bn﹣a1= ，
∴ ，cn=2a1﹣bn= ，
∴ [ ][ ]
= [ ﹣ ]單調遞增（可證當n=1時 ＞0）
故選B．
由an+1=an可知△AnBnCn的邊BnCn為定值a1 ， 由bn+1+cn+1﹣2a1= 及b1+c1=2a1得bn+cn=2a1 ， 則在△AnBnCn中邊長BnCn=a1為定值，另兩邊AnCn、AnBn的長度之和bn+cn=2a1為定值，
由此可知頂點An在以Bn、Cn為焦點的橢圓上，根據bn+1﹣cn+1= ，得bn﹣cn= ，可知n→+∞時bn→cn ， 據此可判斷△AnBnCn的邊BnCn的高hn隨著n的增大而增大，再由三角形面積公式可得到答案．