Question

【題目】已知函數f（x）=lnx﹣x．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）若方程f（x）=m（m＜﹣2）有兩個相異實根x1 ， x2 ， 且x1＜x2 ， 證明：x1x22＜2．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=lnx﹣x的定義域為（0，+∞）

令f′（x）＜0得x＞1，令f′（x）＞0得0＜x＜1

所以函數f（x）=lnx﹣x的單調減區間是（1，+∞），單調遞增區間（0，1）

（2）解：由（1）可設f（x）=m（m＜﹣2）有兩個相異實根x1，x2，滿足lnx﹣x﹣m=0

且0＜x1＜1，x2＞1，lnx1﹣x1﹣m=lnx2﹣x2﹣m=0

由題意可知lnx2﹣x2=m＜﹣2＜ln2﹣2

又由（1）可知f（x）=lnx﹣x在（1，+∞）遞減

故x2＞2

令g（x）=lnx﹣x﹣m

g（x1）﹣g（ ）=﹣x2+ +3lnx2﹣ln2

令h（t）= +3lnt﹣ln2（t＞2），

則h′（t）=﹣ ．

當t＞2時，h′（t）＜0，h（t）是減函數，所以h（t）＜h（2）=2ln2﹣ ＜0．

所以當x2＞2 時，g（x1）﹣g（ ）＜0，即g（x1）＜g（ ）

因為g（x）在（0，1）上單調遞增，

所以x1＜ ，故x1x22＜2．

綜上所述：x1x22＜2

【解析】（1）確定函數的定義域，求導數，即可求函數f（x）的單調區間；（2）證明x2＞2，構造g（x）=lnx﹣x﹣m，證明g（x）在（0，1）上單調遞增，即可證明結論．
【考點精析】利用利用導數研究函數的單調性對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．