Question

【題目】若函數f（x）=（2x2﹣ax﹣6a2）ln（x﹣a）的值域是[0，+∞），則實數a=

Answer 1

【答案】﹣ 或1
【解析】解：f（x）=（x﹣2a）（2x+3a）ln（x﹣a），
由f（x）=0得x=2a，或x=﹣ ，或x=a+1，
若a=0，則f（x）=2x2lnx，則函數的值域為（﹣∞，+∞），不滿足條件．
若a＞0，則函數的定義域為x＞a，此時函數f（x）的零點為x=2a，x=a+1，
設y=（x﹣2a）（2x+3a），y=ln（x﹣a），
要使函數f（x）的值域為[0，+∞），則函數y=（x﹣2a）（2x+3a），y=ln（x﹣a），
則定義域（a，+∞）上函數值的符號相同，
即兩個函數的零點相等即2a=a+1，得a=1，
若a＜0，則函數的定義域為x＞a，此時函數f（x）的零點為x=﹣ ，x=a+1，
設y=（x﹣2a）（2x+3a），y=ln（x﹣a），
要使函數f（x）的值域為[0，+∞），則函數y=（x﹣2a）（2x+3a），y=ln（x﹣a），
則定義域（a，+∞）上函數值的符號相同，
即兩個函數的零點相等即﹣ =a+1，得a=﹣ ，
綜上a=﹣ 或a=1，
所以答案是：﹣ 或1．

【考點精析】本題主要考查了函數的值域的相關知識點，需要掌握求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的才能正確解答此題．