【題目】已知函數
，
.
（1）若
，當
時，證明：
；
（2）若當
時，
，求
的取值范圍.
【答案】（1）證明見解析；（2）
.
【解析】
（1）由
，可得
.令
，利用導數求出函數的單調性求出函數
的最小值為
，可得
，所以
在
上單調遞增，據此即可證明結果.
（2）
.令
，
，可得
.令
，
，
，
，所以
在
上單調遞增，
所以
，即
，對
進行分類討論，根據函數的性質即可求出結果.
（1），
，
，.
令，
.
當
時，
，單調遞減，
當
時，
，單調遞增，
的最小值為，所以
，即，
所以在上單調遞增，所以
，故
.
（2）.
令，，
.
令，，，，所以在上單調遞增，
所以，即.
①當
，即
時，
，
在
上單調遞增，所以
滿足條件.
②當
，即
時，
，顯然不滿足條件.
③當
，即
時，若，
，
令
，，
，
，
故存在
，使
時，
，即
在
上單調遞減，所以
，
即，
，故不滿足條件.
綜上，的取值范圍是.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，
是正方體
的棱
的中點，下列命題中真命題是（ ）
A.過點有且只有一條直線與直線
都相交
B.過點有且只有一條直線與直線都垂直
C.過點有且只有一個平面與直線都相交
D.過點有且只有一個平面與直線都平行
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2020年3月22日是第二十八屆“世界水日”3月22-28日是第三十三屆“中國水周”，主題為“堅持節水優先，建設幸福河湖”，效仿階梯電價，某市準備實施階梯水價.階梯水價原則上以一套住宅（一套住宅為一戶）的月用水量為基準，具體劃分階梯如下：
梯類 | 第一階梯 | 第二階梯 | 第三階梯 |
月用水量范圍（立方米） |
|
|
|
從本市居民用戶中隨機抽取10戶，并統計了在同一個月份的月用水量，得到如圖所示的莖葉圖
（1）若從這10戶中任意抽取三戶，求取到第二階梯用戶數
的分布列和數學期望；
（2）用以上樣本估計全市的居民用水情況，現從全市隨機抽取10戶，則抽到多少戶為第二階梯用戶的可能性最大？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
，其中e為自然對數的底數．
（1）若函數
的圖象在點
處的切線方程為
，求實數a的值；
（2）若函數有2個不同的零點
，
．
①求實數a的取值范圍；
②求證：
．
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