Question

【題目】如圖，在三棱錐中，是等邊三角形，，，為三棱錐外一點，且為等邊三角形．

證明：；

若平面平面，平面與平面所成銳二面角的余弦值為，求的長．

Answer 1

【答案】證明見解析；.

【解析】

取的中點，連接，，證明平面，可得到結論；

以為原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，求出平面和平面的法向量，利用夾角公式求出二面角的余弦值，得出結論.

解：取的中點，連接，，

因為是等邊三角形，所以，

又因為，所以，

因為，所以平面，

因為平面，故．

因為平面平面，

平面平面，

所以平面，

且，，

故以為原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，

取的中點，連接，，

同理可證平面，，，

設，

則，，，，

所以，，

設平面的一個法向量為，

則，

，

令，則．

因為平面的一個法向量為，

所以，

所以，，

所以或．

因為為三棱錐外一點，

所以，

所以．