【題目】如圖，
是正方體
的棱
的中點，下列命題中真命題是（ ）
A.過點有且只有一條直線與直線
都相交
B.過點有且只有一條直線與直線都垂直
C.過點有且只有一個平面與直線都相交
D.過點有且只有一個平面與直線都平行
【答案】ABD
【解析】
點
不在這兩異面直線中的任何一條上，所以，過點有且只有一條直線與直線
都相交， A正確．過點有且只有一條直線與直線都垂直， B正確．過點有無數個平面與直線都相交，C不正確．過點有且只有一個平面與直線都平行，D正確．
解：直線與 是兩條互相垂直的異面直線，點不在這兩異面直線中的任何一條上，如圖所示：
取
的中點
，則
，且
，設
與交于
，則點
共面，
直線
必與直線相交于某點
．
所以，過點有且只有一條直線
與直線都相交；故A正確．
過點有且只有一條直線與直線都垂直，此垂線就是棱
，故B正確．
過點有無數個平面與直線都相交，故C不正確．
過點有且只有一個平面與直線都平行，此平面就是過點與正方體的上下底都平行的平面，故D正確．
故選：ABD．
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知四棱錐P－ABCD的三視圖如下圖所示，E是側棱PC上的動點．
（1）求證：BD⊥AE
（2）若點E為PC的中點，求二面角D－AE－B的大小.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
的焦點為F，過F的直線與拋物線交于A，B兩點，點O為坐標原點，則下列命題中正確的個數為（ ）
①
面積的最小值為4；
②以
為直徑的圓與x軸相切；
③記
，
，
的斜率分別為
，
，
，則
；
④過焦點F作y軸的垂線與直線，分別交于點M，N，則以
為直徑的圓恒過定點.
A.1B.2C.3D.4
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2020年春節期間，武漢市爆發了新型冠狀病毒肺炎疫情，在黨中央的堅強領導下，全國人民團結一心，眾志成城，共同抗擊疫情.某中學寒假開學后，為了普及傳染病知識，增強學生的防范意識，提高自身保護能力，校委會在全校學生范圍內，組織了一次傳染病及個人衛生相關知識有獎競賽(滿分100分)，競賽獎勵規則如下，得分在
內的學生獲三等獎，得分在
內的學生獲二等獎，得分在
內的學生獲一等獎，其他學生不得獎.教務處為了解學生對相關知識的掌握情況，隨機抽取了100名學生的競賽成績，并以此為樣本繪制了如下樣本頻率分布直方圖.
（1）現從該樣本中隨機抽取兩名學生的競賽成績，求這兩名學生中恰有一名學生獲獎的概率；
（2）若該校所有參賽學生的成績
近似服從正態分布
，其中
為樣本平均數的估計值，利用所得正態分布模型解決以下問題：
(i)若該校共有10000名學生參加了競賽，試估計參賽學生中成績超過79分的學生數(結果四舍五入到整數)；
(ii)若從所有參賽學生中(參賽學生數大于10000)隨機抽取3名學生進行座談，設其中競賽成績在64分以上的學生數為
，求隨機變量的分布列和均值.
附：若隨機變量服從正態分布，則
，
，
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，三棱柱
的底面是等邊三角形，
在底面ABC上的射影為△ABC的重心G.
（1）已知
，證明：平面
平面
；
（2）已知平面
與平面ABC所成的二面角為60°，G到直線AB的距離為a，求銳二面角
的余弦值.
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