Question

【題目】已知函數，其中e為自然對數的底數．

（1）若函數的圖象在點處的切線方程為，求實數a的值；

（2）若函數有2個不同的零點，．

①求實數a的取值范圍；

②求證：．

Answer 1

【答案】（1）0；（2）①；②詳見解析．

【解析】

（1）根據切線方程可知，即可求解；

（2）①求函數導數，分類討論，顯然時，恒成立，不符合題意，時，由導數可求函數最小值，函數有零點則最小值需小于0，得，易知在上有1個零點，利用導數證明函數在上有1個零點即可求的取值范圍；

②利用導數構造函數先證明當，，時，，結合①可得，取對數即可得出結論.

（1）因為，

所以切線的斜率為，解得，

所以實數的值為0．

（2）①由題意知函數的定義域為且．

當時，恒成立，

所以在上為增函數，

故至多有1個零點，不合題意．

當時，令，則．

若，則，

所以在上為增函數;

若，則，

所以在上為減函數．

故的最小值為．

依題意知，解得．

一方面，，所以在上有1個零點．

另一方面，先證明．

令，則

當時，，故在上為增函數;

當時，．故在上為減函數．

所以的最大值為，故．

因為，所以．

而．

令，，則

當時，．故在上為增函數，

所以

故

因此在上有1個零點，

綜上，實數的取值范圍是．

②先證明當，，時，

．（*）

不妨設，

（*）式等價，

等價于

在中，令，即證．

令

則，

所以在上為增函數，故，

所以成立，

所以成立．

在中，令，即證．

令，則，

所以在上為減函數，故，

所以成立，

所以成立．

綜上，（*）式成立．

由①得有2個零點，，

則，所以，

兩邊取“”得，

所以．

利用得：，

所以且．

又因為

所以，

故．

因此．