【題目】已知函數(shù)
，
．
求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間；
當(dāng)
時，若
在區(qū)間
上恒成立，求
的取值范圍．
【答案】
當(dāng)
時，函數(shù)
在
上單調(diào)遞增，在
上單調(diào)遞減；
當(dāng)
時，函數(shù)在
上單調(diào)遞減，在，
上單調(diào)遞增；
當(dāng)
時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為
，無減區(qū)間；
當(dāng)
時，函數(shù)在
上單調(diào)遞減，在
，上單調(diào)遞增；
.
【解析】
先求出的定義域，在求導(dǎo)，根據(jù)
的范圍得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值，再由
在區(qū)間
上恒成立，，得出的取值范圍.
解：的定義域為
，
.
當(dāng)時，
，令
，解得
，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，
令
，解得
，則函數(shù)在上單調(diào)遞減.
當(dāng)時，令，解得
，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，
令，解得或
，則函數(shù)在，上單調(diào)遞增.
當(dāng)時，
恒成立，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.
當(dāng)時，
，令，解得
，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，
令，解得
或，則函數(shù)在，上單調(diào)遞增.
由得當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
則
，故不滿足條件；
當(dāng)
時，由可知，函數(shù)在
上單調(diào)遞增，在
上單調(diào)遞減.
，滿足條件；
當(dāng)
時，由可知，則函數(shù)在
，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)
時，函數(shù)有極小值，極小值為
.
若極小值為最小值，在區(qū)間上恒成立，則
，
解得
，
若
，
則
，即
.
因為
，
所以的取值范圍為.
全優(yōu)測試卷系列答案
沖刺100分1號卷系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知平行四邊形
中，
，
，
，
是線段
的中點，現(xiàn)沿
進(jìn)行翻折，使得
與
重合，得到如圖所示的四棱錐
.
（1）證明：
平面
；
（2）若
是等邊三角形，求平面和平面
所成的銳二面角的余弦值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某重點中學(xué)高三的一名學(xué)生在高考前對他在高三近一年中的所有數(shù)學(xué)考試(含模擬考試、月考、平時訓(xùn)練等各種類型的試卷)分?jǐn)?shù)進(jìn)行統(tǒng)計，以此來估計自己在高考中的大致分?jǐn)?shù).為此，隨機(jī)抽取了若干份試卷作為樣本，根據(jù)此樣本數(shù)據(jù)作出如下頻率分布統(tǒng)計表和頻率分布直方圖.
分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
| 20 | 0.25 |
| 50 |
|
|
|
|
| 4 | 0.05 |
（1）求表中
的值和頻率分布直方圖中
的值；
（2）若同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替，試根據(jù)頻率分布直方圖求該學(xué)生高三年級數(shù)學(xué)考試分?jǐn)?shù)的中位數(shù)和平均數(shù)，并對該學(xué)生自己在高考中的數(shù)學(xué)成績進(jìn)行預(yù)測.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】2017年諾貝爾獎陸續(xù)揭曉，北京時間10月2日17：30首先公布了生理學(xué)和醫(yī)學(xué)獎，獲獎?wù)叻謩e是三位美國科學(xué)家霍爾（Jeffrey C. Hall）、羅斯巴什（Michael Rosbash）和楊（Michael W. Ymmg），以表彰他們“發(fā)現(xiàn)控制生理節(jié)律的分子機(jī)制”.通過他們的研究成果發(fā)現(xiàn)，人類每天睡眠時間在7-9小時為最佳狀態(tài).從某大學(xué)隨機(jī)挑選了100名學(xué)生（男生、女生各50名）做睡眠時間統(tǒng)計調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下：
睡眠時間（小時） |
|
|
|
|
|
|
|
男生 | 5 | 6 | 12 | 12 | 8 | 5 | 2 |
女生 | 0 | 2 | 6 | 18 | 12 | 10 | 2 |
請根據(jù)上面表格回答下列問題：
（1）請分別估計出該校男生和女生的平均睡眠時間；
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】為了解某校高三學(xué)生的視力情況，隨機(jī)地抽查了該校100名高三學(xué)生的視力情況，得到頻率分布直方圖如下圖，由于不慎將部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，但知道前4組的頻數(shù)成等比數(shù)列，后6組的頻數(shù)成等差數(shù)列，設(shè)最大頻率為a，視力在4.6到5.0之間的學(xué)生數(shù)為b，則a，b的值分別為 ( )
A. 0.27,78 B. 0.27,83 C. 2.7,78 D. 2.7,83
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，點M為PB中點，底面ABCD為梯形，AB∥CD，AD⊥CD，AD=CD=PC=
AB.
（1）證明：CM∥平面PAD；
（2）若四棱錐P-ABCD的體積為4，求點M到平面PAD的距離.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】近幾年
市加大霧霾治理的投入，空氣質(zhì)量與前幾年相比有了很大改善，并于
年市入選中國空氣優(yōu)良城市
.已知該市設(shè)有
個監(jiān)測站用于監(jiān)測空氣質(zhì)量指數(shù)（
），其中在輕度污染區(qū)、中度污染區(qū)、重度污染區(qū)分別設(shè)有
、
、
個監(jiān)測站，并以個監(jiān)測站測得的的平均值為依據(jù)播報該市的空氣質(zhì)量.
（1）若某日播報的為
，已知輕度污染區(qū)平均值為
，中度污染區(qū)平均值為
，求重度污染區(qū)平均值；
（2）如圖是年
月份
天的的頻率分布直方圖，月份僅有
天在
內(nèi).
①某校參照官方公布的，如果周日小于
就組織學(xué)生參加戶外活動，以統(tǒng)計數(shù)據(jù)中的頻率為概率，求該校學(xué)生周日能參加戶外活動的概率；
②環(huán)衛(wèi)部門從月份不小于
的數(shù)據(jù)中抽取兩天的數(shù)據(jù)進(jìn)行研究，求抽取的這兩天中值在
的天數(shù)的概率.
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