Question

【題目】已知平行四邊形中，，，，是線段的中點，現沿進行翻折，使得與重合，得到如圖所示的四棱錐.

（1）證明：平面；

（2）若是等邊三角形，求平面和平面所成的銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）利用余弦定理求得的長，由此利用勾股定理證得，從而得到、，由此證得平面.

（2）建立空間直角坐標系，利用平面和平面的法向量，求得二面角的余弦值.

（1）證明：∵是線段的中點，∴，

在中，由余弦定理得，

，

∴，∵，

∴，∴，，，

∵平面，平面，

∴平面.

（2）取的中點，以為坐標原點，過點與平行的直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立如圖所示空間直角坐標系.

設軸與交于點，

∵，∴，

易知，∴，

則，，，，

，，，，

∵平面，

∴可取平面的法向量，

設平面的法向量，平面和平面所成的銳二面角為，

則，∴，得，

令，則，從而，

故平面和平面所成的銳二面角的余弦值為.