Question

【題目】已知，直線分別交軸、軸的正半軸于、兩點，為坐標原點.

（1）若直線方程為（），且，求的值；

（2）若直線經過點，設的斜率為，為線段的中點，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）1或2或；（2）

【解析】

（1）先由題意得到、，，根據點到直線距離公式得到點到直線的距離為：，再由三角形面積公式，得到，求解，即可得出結果；

（2）先由題意得到直線的方程為：，求出、兩點坐標，由題意確定，求出點坐標，再由向量數量積的坐標表示，以及基本不等式，即可求出結果.

（1）因為直線方程為（）分別交軸、軸的正半軸于、兩點，

所以、，因此，

又點到直線的距離為：，，

所以，

因此，由，解得，因為，所以；

由，解得或，

綜上，的值為1或2或；

（2）由題意得，直線的方程為：，

由得，所以；由得，所以；

又、兩點分別在軸、軸的正半軸上，

所以，解得；

因為為線段的中點，所以，

因此，

當且僅當，即時，取等號.

故的最小值為.