Question

【題目】某地區現有一個直角梯形水產養殖區ABCD，∠ABC=90°，AB∥CD，AB=800m，BC=1600m，CD=4000m，在點P處有一燈塔（如圖），且點P到BC，CD的距離都是1200m，現擬將養殖區ACD分成兩塊，經過燈塔P增加一道分隔網EF，在△AEF內試驗養殖一種新的水產品，當△AEF的面積最小時，對原有水產品養殖的影響最小．設AE=d．

（1）若P是EF的中點，求d的值；

（2）求對原有水產品養殖的影響最小時的d的值，并求△AEF面積的最小值．

Answer 1

【答案】（1）480; （2）對原有水產品養殖的影響最小時，d=480．△AEF面積的最小值為192000m2

【解析】

（1）建立平面坐標系，求出直線AD，AC的方程，根據P為EF的中點列方程得出E點坐標，從而可計算d；

（2）根據基本不等式得出AEAF的最小值，進而求出△AEF的面積最小值．

解：（1）以A為坐標原點，AB所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，

則C（800，1600），B（800，0），P（-400，400），D（-3200，1600）．

AC所在直線方程為y=2x，AD所在直線方程為y=-x．

設E（-2m，m），F（n，2n），m＞0，＞0．

∵P是EF的中點，∴，解得，

∴E（-960，480），

∴d=|AE|==480．

（2）∵EF經過點P，∴kPE=kPF，

即=，化簡得80m+240n=mn．

由基本不等式得：mn=80m+240n≥160，

即mn≥76800，當且僅當m=3n=480時等號成立．

∵kACkAD=-1，∴AC⊥AD，

∴S△AEF=AEAF=mn=mn≥76800=192000，

此時E（-960，480），d=AE=480．

故對原有水產品養殖的影響最小時，d=480．△AEF面積的最小值為192000m2．